Never miss a game again
作者:Zar Petkov(Canada) 翻译：monk
5)限制
什么是限制？不错的问题。
很多桥牌组织都会对你的叫牌进行某种程度的限制，其中一些极端的甚至让你不知道在进行一种什么游戏。
我不想深入讨论ACBL的限制是如何的复杂，但是要考虑一个适中的限制问题，我们把法国桥联对于其举行的桥牌比赛所作的限制视作"平均"标准：
"一阶花色开叫必须要遵守18(HCP+a+b)法则，第三家要满足16法则。"
这就像Marty Bergen的"20法则"一样，第一、二家要达到18，第三家可以降低到16。
我们来分别看看前面提及的7，6，5，4HCP开叫的牌会怎样。
7HCP的牌 -> 7HCP+6+5=18
6HCP的牌 -> 6HCP+6+6=18
5HCP的牌 -> 5HCP+7+6=18
因此，通过各国桥联的"平均"标准来看，这些牌都是很合适的开叫牌。
我们来看一下WBF对于开叫牌的定义。WBF并没有用Goren点或者Bergen点，甚至也没用Milton HCP来定义一手开叫的牌。实际上定义的原则上说，开叫牌是一手"比平均牌好多于1个Q价值的牌"。
这就意味着，不管你用什么方式来衡量牌，开叫牌要比平均好一个Q。那么我们来衡量一下一手牌平均的Zar Points值。作为对比，HCP衡量方法的平均值应该是一手牌有10HCP，因此在Milton HCP意义下的开叫牌是10+2=12HCP。
用6-4-2-1的方法计算的平均大牌点是6+4+2+1=13点。现在来看分布点部分，我们需要计算各种分布的Zar Points和各种分布出现的可能。然后把结果加权平均，就可以得到平均分布点。
牌型 概率 Zar值
4-3-3-3 = 10.5% 8 ZP
4-4-3-2 = 21.5% 10 ZP
4-4-4-1 = 3.0% 11 ZP
5-3-3-2 = 15.5% 11 ZP
5-4-2-2 = 10.5% 12 ZP
5-4-3-1 = 13.0% 13 ZP
5-4-4-0 = 1.3% 14 ZP
5-5-2-1 = 3.2% 14 ZP
5-5-3-0 = 0.9% 15 ZP
6-3-2-2 = 5.6% 13 ZP
6-3-3-1 = 3.5% 14 ZP
6-4-2-1 = 4.7% 15 ZP
6-4-3-0 = 1.3% 16 ZP
6-5-1-1 = 0.7% 16 ZP
6-5-2-0 = 0.6% 17 ZP
6-6-1-0 = 0.1% 18 ZP
7-2-2-2 = 0.51% 14 ZP
7-3-2-1 = 1.88% 16 ZP
7-3-3-0 = 0.26% 17 ZP
7-4-1-1 = 0.39% 17 ZP
7-4-2-0 = 0.36% 18 ZP
7-5-1-0 = 0.10% 19 ZP
7-6-0-0 = 0.006% 20 ZP
8-2-2-1 = 0.19% 17 ZP
8-3-1-1 = 0.12% 18 ZP
8-3-2-0 = 0.10% 19 ZP
8-4-1-0 = 0.045% 20 ZP
8-5-0-0 = 0.003% 21 ZP
9-2-1-1 = 0.02% 19 ZP
9-2-2-0 = 0.01% 20 ZP
9-3-1-0 = 0.01% 21 ZP
9-4-0-0 = 0.001% 22 ZP
10-1-1-1 = 0.0004% 20 ZP
10-2-1-0 = 0.0011% 22 ZP
10-3-0-0 = 0.0002% 23 ZP
11-1-1-0 = ~0
11-2-0-0 = ~0
12-1-0-0 = ~0
13-0-0-0 = ~0
对所有情况进行计算：
有4张套：84+215+33 = 332 (10.5*8 + 21.5*10 + 3*11，这里没有计算%)
有5张套：170+126+169+18+45+13 = 541
有6张套：73+50+70+21+11+10+2 = 237
有7张套：7+31+4+7+6+2+0.1 = 57
有8张套：3+2+2+1+0.1 = 8
有9张套：0.4+0.2+0.2+0.1 = 1
总共是1176，加上%，结果接近11点。
所以Zar Points计算的一手牌的平均价值是13+11=24 Zar Points。
这就表明Zar Points理论中26点进行开叫是比平均价值24点多一个Q的牌力。
通过WBF的定义和各国桥联的平均标准，Zar Points中定义的开叫牌为26 Zar Points是完全符合开叫要求的。
很有趣的是，三种计点方法--Goren，Bergen和Zar--对于WBF所定义开叫的下限条件都是准确相符的。而持牌的平均价值可以用5-3-3-2牌型10HCP的牌来表示，以下是三种算法的对照：
Goren计点法中，10HCP加上双张点=11 Goren Points，离Goren的13点开叫标准相差一个Q；
Bergen计点法中，10HCP加上最长的两套长度8，为18，又是刚好和开叫价值20 Bergen Points相差一个Q；
最后看Zar的计算法，10 HCP + 3 Controls + (5+3) + (5-3) = 24 Zar Points--离开叫也是差一个Q。
结束本节之前，我们来证明一下Zar Points提供了一种线性单调的牌值评价方法，且差分的步长是一个J的价值。
1.我们将证明Zar Points关于花色长度的变化是单调和线性的：
假设4个花色长度为a，b，c，d(注:这里假定的前提是a>b>c>d)。
首先，证明当花色长度由d到a增加的时候，Zar Points的变化是线性单调的；
从d移动一张牌到c：
(a) + (b) + [a - (d-1)] = (a+b) + (a-d) + 1
从c移动一张牌到b：
(a) + (b+1) + (a-d) = (a+b) + (a-d) + 1
从b移动一张牌到a：
(a+1) + (b-1) + (a+1 - d) = (a+b) + (a-d) + 1
现在，证明从a到d长度变化时也是线性单调的；
从a移动一张牌到b：
(a-1) + (b+1) + (a-1 - d) = (a+b) + (a-d) - 1
从b移动一张牌到c：
(a) + (b-1) + (a-d) = (a+b) + (a-d) - 1
从c移动一张牌到d：
(a) + (b) + [a - (d+1)] = (a+b) + (a-d) - 1
因此从任何一个花色中移动一张牌到相邻长度的花色，分布点变化都是1。
2.接下来证相邻长度的花色间移动一张牌，分布点的变动是一个J的价值：
这很显然，在Zar Points中，一个J价值1点，所以相差1点就等同于一个J的价值。
综上，我们证明了Zar Points是一种线性单调的牌值评价方法，且牌值随着牌型的变化相差一个J的价值。
6)阻击叫
我们已经知道一阶"正常"开叫的最低限可以是4HCP，你可能会认为阻击叫肯定要低到1-2HCP！
那么很抱歉，让你失望了。
你所知道的标准叫牌法的一般规则是，正常开叫要有12HCP，而弱二开叫要有8HCP和6张好套。所以，弱二阻击叫应该是正常一阶开叫的2/3。
但是在Zar Points中却变得更为保守--你需要22-25 Zar Points和一个像样的6张套。这里你所传达的主要信息就是"我没有26点进行正常开叫，但是我有个6张套和22-25 Zar Points"。
这里有一手典型的基本在任何体系都进行弱二开叫的牌：
S Kxx
H KQJxxx
D xxx
C x
我们来看看Zar Points中的情况。你有9HCP + 2Controls = 11 HP，以及9 + 5 = 14 DP，这样总共有25 Zar Points--不够开叫1阶的。
那么三四阶阻击叫呢？你所表达的主要信息也是"我没有26点，但我有个7或者8张套，你可以据此衡量你的牌值"。
但是为什么正常开叫的下限可以到4HCP，而阻击叫实际上不会低于7HCP呢？答案很简单--弱二开叫对于一手牌的主打力量进行了限制。
对于阻击叫来说，你实际上在宣称你是一手单套型的牌，没有太多的潜在牌型变化和牌值的修正，你基本上是在说"这就是我的全部资产了"。
对于正常开叫则没有这种限定。
7)对比
我们将通过一些数学手段，评价四种主要的牌型价值计算法的精确性。
第一种方法我们已经提到过了，就是Charles Goren的3-2-1方法，也就是双张1点，单张2点，缺门3点。
第二种方法是Marty Bergen的"20法则"，Bergen的方法就是把大牌点加上最长的两套长度，实际上牌型的价值用我们的符号表示就是(a+b)。
我们也会比较90年代后的最新方法Drabble法则，把最长的两套长度相加，除以3，减去最短套的长度，结果下取整。因为在Drabble的尺度里面，初始值是4-3-3-3牌型的-1，我们把所有的表格中这部分的值都加了1，这样可以消除掉负数。
在所有情况中，我们考虑的都是初始牌点，没有涉及什么牌值调整的方法。
第四种方法就是Zar分布点，你已经很熟悉了，牌型点的计算公式是(a+b)+(a-d)，即两个最长套的和加上最长套和最短套的差。
前面说过，一手牌一共有39种牌型可能，各种牌型及其出现概率在下面一一列出：
牌型 概率
4-3-3-3 = 10.5%
4-4-3-2 = 21.5%
4-4-4-1 = 3.0%
5-3-3-2 = 15.5%
5-4-2-2 = 10.5%
5-4-3-1 = 13.0%
5-4-4-0 = 1.3%
5-5-2-1 = 3.2%
5-5-3-0 = 0.9%
6-3-2-2 = 5.6%
6-3-3-1 = 3.5%
6-4-2-1 = 4.7%
6-4-3-0 = 1.3%
6-5-1-1 = 0.7%
6-5-2-0 = 0.6%
6-6-1-0 = 0.1%
7-2-2-2 = 0.51%
7-3-2-1 = 1.88%
7-3-3-0 = 0.26%
7-4-1-1 = 0.39%
7-4-2-0 = 0.36%
7-5-1-0 = 0.10%
7-6-0-0 = ~0
8-2-2-1 = 0.19%
8-3-1-1 = 0.12%
8-3-2-0 = 0.10%
8-4-1-0 = ~0
8-5-0-0 = ~0
9-2-1-1 = 0.02%
9-2-2-0 = 0.01%
9-3-1-0 = 0.01%
9-4-0-0 = ~0
10-1-1-1 = ~0
10-2-1-0 = ~0
10-3-0-0 = ~0
11-1-1-0 = ~0
11-2-0-0 = ~0
12-1-0-0 = ~0
13-0-0-0 = ~0
其中标记为~0的数字是小于0.01%的，我们近似认为是0。值得注意的是4-3-3-3牌型并不是最可能出现的三种牌型之一。可能性最大的是4-4-3-2牌型，比可能性其次的5-3-3-2多6%。
Zar Points的分布点部分可以从8变化到26，就是说可以把牌分为17种：
4-3-3-3 = 8
4-4-3-2 = 10
4-4-4-1 = 11
5-3-3-2 = 11
5-4-2-2 = 12
5-4-3-1 = 13
5-4-4-0 = 14
5-5-2-1 = 14
5-5-3-0 = 15
6-3-2-2 = 13
6-3-3-1 = 14
6-4-2-1 = 15
6-4-3-0 = 16
6-5-1-1 = 16
6-5-2-0 = 17
6-6-1-0 = 18
7-2-2-2 = 14
7-3-2-1 = 16
7-3-3-0 = 17
7-4-1-1 = 17
7-4-2-0 = 18
7-5-1-0 = 19
7-6-0-0 = 20
8-2-2-1 = 17
8-3-1-1 = 18
8-3-2-0 = 19
8-4-1-0 = 20
8-5-0-0 = 21
9-2-1-1 = 19
9-2-2-0 = 20
9-3-1-0 = 21
9-4-0-0 = 22
10-1-1-1 = 20
10-2-1-0 = 22
10-3-0-0 = 23
11-1-1-0 = 23
11-2-0-0 = 24
12-1-0-0 = 25
13-0-0-0 = 26
我们将用3种标准来比较4种计算方法：
1.基准跨度：就是可以把所有的牌型分为多少种牌值组；
2.分散程度：对于每个牌值组中最多包含的牌型数；
3.标准偏差：在后面会有详细解释。
在下面的表格中，我们给出了各种计算方法的牌型点：
Zar Points Bergen Points Goren 3-2-1 Points Drabble Points
4-3-3-3 = 8 7 0 0
4-4-3-2 = 10 8 1 1
4-4-4-1 = 11 8 2 2
5-3-3-2 = 11 8 1 1
5-4-2-2 = 12 9 2 2
5-4-3-1 = 13 9 2 3
6-3-2-2 = 13 9 2 3
5-4-4-0 = 14 9 3 4
6-3-3-1 = 14 9 2 3
7-2-2-2 = 14 9 2 2
5-5-2-1 = 14 10 3 3
5-5-3-0 = 15 10 3 4
6-4-2-1 = 15 10 3 3
6-4-3-0 = 16 10 3 4
7-3-2-1 = 16 10 3 3
6-5-1-1 = 16 11 4 3
7-3-3-0 = 17 10 3 4
8-2-2-1 = 17 10 3 3
6-5-2-0 = 17 11 4 4
7-4-1-1 = 17 11 4 3
7-4-2-0 = 18 11 4 4
8-3-1-1 = 18 11 4 3
6-6-1-0 = 18 12 5 5
8-3-2-0 = 19 11 4 4
9-2-1-1 = 19 11 4 3
7-5-1-0 = 19 12 5 5
7-6-0-0 = 20 13 6 5
8-4-1-0 = 20 12 5 5
9-2-2-0 = 20 11 5 4
10-1-1-1= 20 11 6 3
8-5-0-0 = 21 13 6 5
9-3-1-0 = 21 12 5 5
9-4-0-0 = 22 13 6 5
10-2-1-0= 22 12 5 5
11-1-1-0= 23 12 7 5
10-3-0-0= 23 13 6 5
11-2-0-0= 24 13 7 5
12-1-0-0= 25 13 8 5
13-0-0-0= 26 13 9 5
这张表格是按照Zar Points的递增顺序排列的，可以看到，所有的计算方法都是将4-3-3-3赋以最低牌型价值，我们就以此为基准，来考虑其它牌值分组。
下面的表格中，每列表示相对于基准牌型的位移(例如+1就表示4-3-3-3之后的下一组牌值)，而实际的数字代表这个价值下所包含的牌型数量。
牌值计算方法 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 +15 +16 +17
Zar Points 1 2 1 2 4 2 3 4 3 3 4 2 2 2 1 1 1
Marty Bergen 3 6 7 9 6 7 ---------------------------------------
Goren 3-2-1 2 7 8 5 6 6 2 1 1 -----------------------------
Drabble 2 3 12 8 13 ------------------------------------------
Marty Bergen计点法把牌分为了6组，Goren的计算法分为了9组，Drabble分为5组，而Zar Points分为了17组。这就意味着，从基准跨度的标准看来，Zar Points比其它方法要优越2到3.4倍。
再看牌型的分散度。Zar Points中每个牌值组中最多的牌型是4种，而Bergen方法的最多可能为9种，Goren法为8种，Drabble中一种牌值可能包含13种牌型之多。所以结果也是Zar Points要好2到3.2倍。
最后来看标准偏差的比较。对于一组变量x的均方根(RMS)，计算式为：
√(∑xi^2/n)(离散分布式)
√[(∫P(x)x^2dx)/(∫P(x)dx)](连续分布式)
科学上通常用均方根来表示标准偏差。我们使用这种方法，计算上表中每行的均方根:
Recursive Zar Points: root-square ( 91/17) = rs(5.35) = 2.31
Marty Bergen Points: root-square ( 260/ 6) = rs(43.33)= 6.58
Goren 3-2-1 for void-x-xx: root-square ( 220/ 9) = rs(24.44)= 4.94
Drabble''s method: root-square ( 390/ 5) = rs(78.00)= 8.87
所以通过第三种标准，我们也可以证明Zar Points比其它结果好2.2到3.6倍。
有趣的是，使用三种标准中的任何一种进行检验，Zar Points都是要好上三倍左右。
8)转换
转换?
既然我们从三个不同的方面展示了Zar Points比其它方法好大约三倍，为什么还要关心如何从Zar Points转换为Goren Points或者Bergen Points呢？
"为什么要把''好''的东西转变为''不好''的东西呢？"--我听到有人这么问…"我就直接用不好的方法计算不就很简单了吗，为什么先用好的方法计算，再按一定比例缩小成不好的呢。"
首先，每种计算方法都有一定的群众基础，这些人仅仅为了熟悉，方便和习惯，比如有人就觉得计算3*v + 2*s + d(这里v是一手牌的缺门数，s是单张数，d是双张数)比(a+b)+(a-d)容易。
为什么会这样呢？--那要问他们才知道。
其次，当提出一种使用新的范围和跨度的方法计算出新的牌值时，你往往会下意识地把这种新的范围转换为你觉得舒服的范围。这样通过一个转换，你可以运用所熟悉的内容，来得出更好的判断，而不用远离你熟悉的尺度。
在讨论到专家牌手用4 1/2-3-1 1/2-1/2HCP代替常规的4-3-2-1计点法时，我们已经提到这样一种方便的转换，从而使得6-4-2-1的算法在尺度和范围上更像4-3-2-1的方法。
那么如何根据Zar Points进行转换呢？
在HCP方面，很自然的转换就是上面提到的将Zar Points转换为4 1/2-3-1 1/2-1/2的HCP价值，就像专家在牌值评估时所用的方法。
而DP方面，我们来考虑两个最常见的转换，就是将Zar Points转换为Goren Points和Bergen Points。
看一下前一节的对照表，你会发现从Zar Points转换为Goren Points，你需要做的是：
1.从Zar Points中减8--这里是补偿的范围下界，使之起点到0
2.结果除以2--这里是对齐上界，将上界缩小到9
这样对于5-5-2-1牌型你就可以得到是3 Goren Points--和7-3-3-0牌型是一样多的。在Zar Points中，5-5-2-1牌型有14个分布点，而7-3-3-0牌型有17点。来看看14点在"Goren条件"下是多少，(14 - 8) / 2 = 3。就是说"Goren条件"下5-5-2-1牌型的价值在Zar Points和Goren Points中完全一样。
但是对于7-3-3-0牌型，(17 - 8) / 2 = 4 1/2。这里对于同一手牌则有很大的不同，一个是3点，一个是4 1/2点。
现在来看Bergen Points--还是看对照表，这里的转换方法为：
1.减去8，下界归0从而使之不受除法计算上界的影响
2.结果除以2，得到牌点范围
3.再加上7，重新对齐下界，使得牌点在7到13的范围
还是看刚才的例子，对于5-5-2-1牌型，有10 Bergen Points--也是和7-3-3-0一样的。在Zar Points中，5-5-2-1价值14点，7-3-3-0价值17点。"Bergen条件"下，14点变为[(14 - 8) / 2] + 7 = 10点。就是Zar Points和Bergen Points中，5-5-2-1牌型都转换为"Bergen条件"的价值是一样的。
7-3-3-0牌型的转换为[(17-8)/2]+7=11 1/2。也是有很明显的区别，同一手牌在Zar Points转换到"Bergen条件"后为11 1/2点，而在Bergen Points中价值为10点。
再看一个例子--6-5-1-1牌型和8-3-2-0牌型，两手都是有4 Goren Points和11 Gergen Points，但是Zar Points却一个是16另一个是19。做一下转换看看相应的结果。你可以对任何其它牌型进行这种转换，然后看看差别。
作为这一节的结束，我们看以下两手牌，衡量一下牌张价值。我们将会计算Goren Points，Bergen Points，Zar Points，Zar Points转换得到的Goren和Zar Points转换得到的Bergen。
第一手牌是5-5-2-1牌型，相应的控制数也比较低，第二手牌是7-3-3-0牌型，拥有很多的控制。两手牌有相同的大牌点：15HCP。
Hand A Hand B
S KQ832 S AK108754
H KQJ92 H A109
D A4 D A96
C 7 C --
两手牌都看上去都很不错，有很好的主打强度，而你会看到有什么区别…
1.Goren Points计算
两手牌都价值18点，A是15+2+1而B是15+3
2.Bergen Points计算
两手牌都是25点，A的计算为15+5+5，B是15+7+3
3.Zar Points计算
A这手牌有15+4=19 Zar HCP Points，5-5-2-1牌型可以有10+4=14点，所以总共有33 Zar Points，而且大牌都集中于三套，可以升值1点，达到34点。
B这手牌有15+7=22 Zar HCP Points，7-3-3-0牌型有10+7=17点，大牌集中于三套升值1点，共有40点。
两手牌有6点的差异，在Zar Points中这就是差了一阶！
4.Zar Points转换到Goren
A这手牌大牌部分的转换为4 1/2 + 6 + 3 + 1/2 = 14(比用标准的算法少了1点)。
B这手牌的转换为3 * 4 1/2 + 3 = 16 1/2(比标准算法多了1 1/2点)。
牌型的转换我们前面已经算过了，A这手牌转换后为3点--和实际的Goren Points一样，B这手牌转换后为4 1/2点--比实际的Goren Points多1 1/2点。
所以A经过转换后的总价值为14 + 3 = 17点--比Goren法的计算少了1点，B的价值为16 1/2 + 4 1/2 = 21点--这次比Goren法的计算又多了3点。
换句话说，对于A，Zar Points比Goren(指Goren条件下)保守17/18=94%，而对于B，Zar Points比Goren进取21/18=117%。
5.Zar Points转换到Bergen
大牌部分，A经过转换为4 1/2 + 6 + 3 + 1/2 =14点，B转换后为3 * 4 1/2 + 3 = 16 1/2；牌型部分根据前面的结果，A价值10点，而B价值11 1/2点。
相加后，A的Zar Points转换为Bergen条件下的价值为14 + 10 = 24点--比Bergen法少1点，而B价值16 1/2 + 11 1/2 = 28点--比Bergen法多了3点。
就是说Zar Points对于A这手牌的衡量比Bergen(指Bergen条件下)保守24/25=96%，而对于B则要进取28/25=112%。
希望这样可以给你一个全面的认识。
9)概要
本质上说Zar Points可以让你能够做到以下两点：
－联手有24HCP却没有进局前景时停在部分定约，而不必出于常规的考虑硬叫进局；
－叫出联手只有17HCP的局或者满贯，这种牌很多人那里甚至会是一副all-pass的牌。
这里列出了一些基本的原则：
开叫：
1.把你手上的大牌点(HCP)加上控制数(Controls)
2.加上最长套之和以及最长套与最短套之差；
3.如果数出来至少达到了26--你就可以进行开叫；
应叫：
4.先用上面的方法进行初始牌值计算；
5.同伴花色的每张大牌加1点，每张额外长度加3点；
6.如果你能数到16，就可以加叫到二阶，如果达到26点就可以成局；
可以证明Zar Points在牌型价值的评估上有着非常好的精确性--比其它方法好大约3倍。
我听到有人时常抱怨Zar Points有点太复杂了。但是"复杂"这个词其实是相对的事情。你想要拿什么来击败专家牌手呢，赤手空拳吗？那他们要叫警察了。
如果你仅仅看他们写下来的体系，你看到100，200，300页就会被瞎倒！不是开玩笑--我有这些体系的确切内容。而且这些都是世界冠军的叫牌体系，他们是知道不能什么手段都没有的…你必须要付出努力--复杂或者其它方式。
从你坐在桥牌桌旁的时刻起，就已经很复杂了。
所以，Zar Points对你来说很复杂吗？你再考虑考虑--并且祝你在牌桌上好运。
Zar Petkov,
October 2003, Toronto, Canada
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（上半部分完）
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《Zar Points - Aggressive Bidding Hand Evaluation》的原文
如果大家感兴趣可以继续读后半部分:
The Finer arts of Zar Points
1) The Bid-pips
2) The Misfit
3) Zar’s Theorem – “In bridge, you always have a fit”
4) The Theorem and The Law
5) The Footprints
6) Standard Bidding Systems with Zar Points
（Zar Points的网站是:
http://public.aci.on.ca/~zpetkov/ ，上面的资料更全一些。）
